《动手学深度学习》
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自动求梯度

在深度学习中,我们经常需要对函数求梯度(gradient)。本节将介绍如何使用 MXNet 提供的autograd包来自动求梯度。如果你对本节中的数学概念(例如梯度)不是很熟悉,可以参阅附录中“数学基础”一节。

In [1]:
from mxnet import autograd, nd

简单例子

我们先看一个简单例子:对函数 \(y = 2\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{x}\) 求关于列向量 \(\boldsymbol{x}\) 的梯度。我们先创建变量x,并赋初值。

In [2]:
x = nd.arange(4).reshape((4, 1))
x
Out[2]:

[[0.]
 [1.]
 [2.]
 [3.]]
<NDArray 4x1 @cpu(0)>

为了求有关变量x的梯度,我们需要先调用attach_grad函数来申请存储梯度所需要的内存。

In [3]:
x.attach_grad()

下面定义有关变量x的函数。为了减少计算和内存开销,默认条件下 MXNet 不会记录用于求梯度的计算。我们需要调用record函数来要求 MXNet 记录与求梯度有关的计算。

In [4]:
with autograd.record():
    y = 2 * nd.dot(x.T, x)

由于x的形状为(4, 1),y是一个标量。接下来我们可以通过调用backward函数自动求梯度。需要注意的是,如果y不是一个标量,MXNet 将默认先对y中元素求和得到新的变量,再求该变量有关x的梯度。

In [5]:
y.backward()

函数 \(y = 2\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{x}\) 关于 \(\boldsymbol{x}\) 的梯度应为 \(4\boldsymbol{x}\)。现在我们来验证一下求出来的梯度是正确的。

In [6]:
assert (x.grad - 4 * x).norm().asscalar() == 0
x.grad
Out[6]:

[[ 0.]
 [ 4.]
 [ 8.]
 [12.]]
<NDArray 4x1 @cpu(0)>

训练模式和预测模式

从上面可以看出,在调用record函数后,MXNet 会记录并计算梯度。此外,默认下autograd还会将运行模式从预测模式转为训练模式。这可以通过调用is_training函数来查看。

In [7]:
print(autograd.is_training())
with autograd.record():
    print(autograd.is_training())
False
True

在有些情况下,同一个模型在训练模式和预测模式下的行为并不相同。我们会在后面的章节详细介绍这些区别。

对 Python 控制流求梯度

使用 MXNet 的一个便利之处是,即使函数的计算图包含了 Python 的控制流(例如条件和循环控制),我们也有可能对变量求梯度。

考虑下面程序,其中包含 Python 的条件和循环控制。需要强调的是,这里循环(while 循环)迭代的次数和条件判断(if 语句)的执行都取决于输入b的值。

In [8]:
def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm().asscalar() < 1000:
        b = b * 2
    if b.sum().asscalar() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

我们依然跟之前一样使用record函数记录计算,并调用backward函数求梯度。

In [9]:
a = nd.random.normal(shape=1)
a.attach_grad()
with autograd.record():
    c = f(a)
c.backward()

我们来分析一下上面定义的f函数。事实上,给定任意输入a,其输出必然是 f(a) = x * a的形式,其中标量系数x的值取决于输入a。由于c = f(a)有关a的梯度为x,且值为c / a,我们可以像下面这样验证对本例中控制流求梯度的结果的正确性。

In [10]:
a.grad == c / a
Out[10]:

[1.]
<NDArray 1 @cpu(0)>

小结

  • MXNet 提供autograd包来自动化求导过程。
  • MXNet 的autograd包可以对一般的命令式程序进行求导。
  • MXNet 的运行模式包括训练模式和预测模式。我们可以通过autograd.is_training()来判断运行模式。

练习

  • 在本节对控制流求梯度的例子中,把变量a改成一个随机向量或矩阵。此时计算结果c不再是标量,运行结果将有何变化?该如何分析该结果?
  • 重新设计一个对控制流求梯度的例子。运行并分析结果。

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